حل فعالیت صفحه 143 ریاضی هشتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 143 - فعالیت 1 این فعالیت به بررسی ویژگی‌های یک **چندضلعی محاطی** که بر روی کمان‌های مساوی بنا شده، می‌پردازد و در نهایت ویژگی **چندضلعی منتظم** را اثبات می‌کند. ### تحلیل دلایل رضا #### الف) چرا مثلث‌های $\mathbf{AOB}$، $\mathbf{BOC}$ و ... متساوی‌الساقین‌اند؟ **دلیل:** در هر یک از این مثلث‌ها که رأس آن‌ها مرکز دایره ($\mathbf{O}$) است، دو ضلع آن‌ها (مثل $\mathbf{\overline{OA}}$ و $\mathbf{\overline{OB}}$) **شعاع‌های دایره** هستند. $${\overline{OA} = \overline{OB} = \overline{OC} = \dots = \mathbf{r}}$$ چون دو ضلع هر مثلث با هم برابرند، پس همه‌ی این مثلث‌ها **متساوی‌الساقین** هستند. #### ب) چرا $\mathbf{\hat{O}_{۱} = \hat{O}_{۲} = \dots}$، پس همه‌ی زاویه‌های سبزرنگ با هم برابرند؟ **دلیل:** 1. طبق صورت سؤال، محیط دایره به **هشت کمان مساوی** تقسیم شده است. $${ \overparen{AB} = \overparen{BC} = \overparen{CD} = \dots }$$ 2. زاویه‌های $\mathbf{\hat{O}_{۱}}$، $\mathbf{\hat{O}_{۲}}$ و ...، **زاویه‌های مرکزی** روبه‌رو به این کمان‌های مساوی هستند. 3. در هندسه، اگر **کمان‌ها مساوی** باشند، **زاویه‌های مرکزی** روبه‌رو به آن‌ها نیز **مساوی** هستند (اندازه‌ی زاویه‌ی مرکزی برابر با اندازه‌ی کمان است). $${\hat{O}_{۱} = \hat{O}_{۲} = \dots = \frac{360^{\circ}}{8} = 45^{\circ}}$$ #### ج) چرا همه‌ی زاویه‌های هشت ضلعی با هم برابرند؟ **دلیل:** هر زاویه‌ی داخلی هشت ضلعی (مثلاً $\mathbf{\hat{B}}$ یا $\mathbf{\hat{C}}$) از جمع دو زاویه‌ی قاعده‌ی مثلث‌های متساوی‌الساقین مجاور تشکیل شده است (مثلاً $\mathbf{\hat{B}}$ از $\mathbf{\hat{B}_{۱}}$ و $\mathbf{\hat{B}_{۲}}$). 1. در هر مثلث متساوی‌الساقین (مثلاً $\mathbf{\triangle AOB}$)، زوایای قاعده‌ی روبه‌رو به ضلع‌های برابر، مساوی هستند. $(\mathbf{\hat{A}_{۸} = \hat{B}_{۱}})$ 2. چون **همه‌ی مثلث‌ها متساوی‌الساقین و هم‌نهشت** هستند (به دلیل تساوی زاویه‌های رأس $\mathbf{\hat{O}}$ و تساوی شعاع‌ها)، **همه‌ی زوایای قاعده‌ی** این مثلث‌ها (زاویه‌های سبزرنگ در شکل پایینی) با هم برابرند: $\mathbf{\hat{A}_{۸} = \hat{B}_{۱} = \hat{B}_{۲} = \hat{C}_{۳} = \dots}$ 3. چون هر زاویه‌ی داخلی هشت ضلعی از جمع دو زاویه‌ی قاعده‌ی مساوی تشکیل شده است (مثلاً $\mathbf{\hat{B} = \hat{B}_{۱} + \hat{B}_{۲}}$)، پس **همه‌ی زوایای داخلی** هشت ضلعی با هم برابرند. $${ \text{هر زاویه داخلی} = 2 \times \left( \frac{180^{\circ} - 45^{\circ}}{2} \right) = 135^{\circ} }$$ ### پاسخ به اعتراض آرش (اثبات منتظم بودن) آرش درست می‌گوید. برای اینکه یک چندضلعی **منتظم** باشد، باید دو شرط زیر را داشته باشد: 1. **برابری همه‌ی زوایای داخلی** (که اثبات شد). 2. **برابری همه‌ی ضلع‌ها (وترها)** **دلیل برابری ضلع‌ها:** * ضلع‌های هشت ضلعی ($\mathbf{\overline{AB}}$، $\mathbf{\overline{BC}}$، $\mathbf{\overline{CD}}$ و...) **وترهای** کمان‌های مساوی هستند. * در یک دایره، **وترهای روبه‌رو به کمان‌های مساوی، با هم مساوی هستند.** * چون $\overparen{AB} = \overparen{BC} = \overparen{CD} = \dots$ (کمان‌ها مساوی‌اند)، پس: $${ \mathbf{\overline{AB} = \overline{BC} = \overline{CD} = \dots} }$$ **نتیجه نهایی:** چون همه‌ی زاویه‌های داخلی و همه‌ی ضلع‌های هشت ضلعی $\mathbf{ABCDEFGH}$ با هم برابرند، پس این هشت ضلعی **منتظم** است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 143 - فعالیت 2 این فعالیت به بررسی ارتباط دوجانبه بین **کمان‌ها** و **وترهای** مربوط به آن‌ها در یک دایره می‌پردازد. ### الف) اثبات برابری وترها از برابری کمان‌ها **فرض:** اندازه‌ی کمان $\overparen{AB}$ برابر با اندازه‌ی کمان $\overparen{CD}$ است. ($ \overparen{AB} = \overparen{CD} $) **چرا $\mathbf{\overline{AB} = \overline{CD}}$؟** 1. **زاویه‌های مرکزی:** اگر دو کمان مساوی باشند، زاویه‌های مرکزی روبه‌رو به آن‌ها نیز مساوی هستند. $${ \angle AOB = \angle COD }$$ 2. **مثلث‌های مرکزی:** مثلث‌های $\mathbf{AOB}$ و $\mathbf{COD}$ را در نظر بگیرید. * ضلع $\mathbf{\overline{OA}} = \mathbf{\overline{OC}}$ (شعاع‌های دایره) * ضلع $\mathbf{\overline{OB}} = \mathbf{\overline{OD}}$ (شعاع‌های دایره) * زاویه‌ی $\mathbf{\angle AOB} = \mathbf{\angle COD}$ (زاویه‌های مرکزی برابر) 3. **هم‌نهشتی:** طبق حالت هم‌نهشتی **دو ضلع و زاویه‌ی بین** $(\mathbf{Z.D.Z})$، دو مثلث هم‌نهشت هستند: $${ \mathbf{\triangle AOB} \cong \mathbf{\triangle COD} }$$ 4. **نتیجه:** از هم‌نهشتی، اجزای متناظر برابرند؛ بنابراین وترهای $\mathbf{\overline{AB}}$ و $\mathbf{\overline{CD}}$ برابر هستند. ### ب) اثبات برابری کمان‌ها از برابری وترها **فرض:** طول وتر $\mathbf{\overline{AB}}$ برابر با طول وتر $\mathbf{\overline{CD}}$ است. ($ \mathbf{\overline{AB} = \overline{CD}} $) **چرا $\overparen{AB} = \overparen{CD}$؟** 1. **مثلث‌های مرکزی:** مثلث‌های $\mathbf{AOB}$ و $\mathbf{COD}$ را در نظر بگیرید. * ضلع $\mathbf{\overline{OA}} = \mathbf{\overline{OC}}$ (شعاع‌های دایره) * ضلع $\mathbf{\overline{OB}} = \mathbf{\overline{OD}}$ (شعاع‌های دایره) * ضلع $\mathbf{\overline{AB}} = \mathbf{\overline{CD}}$ (طبق فرض، وترها برابرند) 2. **هم‌نهشتی:** طبق حالت هم‌نهشتی **سه ضلع** $(\mathbf{Z.Z.Z})$، دو مثلث هم‌نهشت هستند: $${ \mathbf{\triangle AOB} \cong \mathbf{\triangle COD} }$$ 3. **نتیجه:** از هم‌نهشتی، زوایای متناظر برابرند؛ بنابراین زاویه‌های مرکزی روبه‌رو به وترها مساوی هستند: $\mathbf{\angle AOB = \angle COD}$. 4. چون اندازه‌ی کمان برابر با اندازه‌ی زاویه‌ی مرکزی روبه‌رو به آن است، پس کمان‌ها نیز مساوی هستند: $${ \overparen{AB} = \overparen{CD} }$$ ### نتیجه‌ی کلی فعالیت **اگر در یک دایره، اندازه‌ی دو کمان برابر باشد، اندازه دو وتر روبه‌رو به آن‌ها نیز برابر خواهد بود.** **به عکس، اگر در یک دایره اندازه دو وتر برابر باشد، اندازه دو کمان روبه‌رو به آن‌ها نیز برابر خواهد بود.**